affiche

Equipe:

Pierre Berger (CNRS-LAGA-Paris 13),

Pierre-Yves Fave,

Alex Laier Bordignon (UFF),

Sergio Krakowski Costa Rego

Luiz Velho (IMPA-Visgraf Lab)

1)Nature de l’exposition

Nous proposons une exposition interactive sur la notion d’espace de dimension 3 en mathématiques.

Elle consiste en un ensemble de vidéos et d’installations interactives illustrant ce concept sous l’éclairage du théorème de géométrisation de Thurston-Perelman (2003).

Pour donner la saveur de quelques uns des concepts fondamentaux mis en jeu, au lieu d’utiliser traditionnellement les medias textuels, nous préférons utiliser un langage basé sur les sensations, en particulier visuelles, mais également auditives. En effet, il s’agit de représenter des idées purement géométriques.

Cette exposition est effectuée par des artistes et des scientifiques, dans une collaboration entre la France et le Brésil.

Différentes études montrent le grand potentiel de l’art pour expliquer la science. Ainsi, le projet est réalisé par des scientifiques et des artistes, afin d’être séduisant et rigoureux. Pour ce faire, nous développons de nouveaux algorithmes graphiques et mathématiques pour produire de nouvelles images scientifiques, dont l’intérêt dépasse l’exposition.

L’exposition se divise en deux parties. La première souhaite rendre accessible au grand public (en particulier adolescent) la notion d’espace non Euclidien. La première partie sera d’abord réalisée du 18 au 29 mars 2013 dans le forum des étudiant de l’université Paris 13. En plus du naturel libre passage, des lycéens y seront invités. En juillet-Aout 2014 l’exposition sera présentée à Rio de Janeiro.

La version complète est formée par les première et deuxième parties. Elle représentera chacun des mots apparaissant dans le théorème par une œuvre, et finira par l’énoncé du théorème de géométrisation. Nous désirons que même un lycéen puisse goûter à la saveur des concepts formant l’énoncé du théorème de géométrisation. Nous souhaitons la réaliser en en 2014.

2) Objectifs

Comme nous le décrirons, cette exposition va rompre avec les expositions scientifiques traditionnelles, dans la forme comme dans le contenu proposé. Nous espérons ainsi attirer de jeunes grands talents vers les sciences.

Aussi, nous souhaitons changer les idées reçues sur les mathématiques modernes, en ne montrant que des mathématiques visuelles (et non calculatoires).

Enfin, ce projet est la première partie d’une exposition ambitieuse, qui devrait avoir un impact médiatique. Nous espérons réaliser la version complète en France et au Brésil, mais aussi dans d’autres pays d’Amérique (du Nord et du Sud) et d’Europe.

Partie I - Espaces non-euclidiens

Nous présentons ici la première partie de l’exposition, qui porte sur les concepts élémentaires de dimension, de topologie et d’espace non-euclidien.

a) - Concept de dimension

Nous allons illustrer le concept mathématique de dimension en représentant trois catégories d’objets ayant leur équivalent dans toutes les dimensions : celles des boules, des simplex et des cubes.

Dimension

1

2

3

Boule

Segment

Disque

Boule

Simplex

Segment

Triangle plein

Tétraèdre plein

Cube

Segment

Carré plein

Cube plein

Chacun de ces objets seront présentés simultanément dans une vidéo en boucle, dans un format rappelant une bande dessinée ou un polyptyque. L’animation sert à montrer comment passer d’une dimension à l’autre.

premier film

Enfin seront illustrés des definitions intuitives de variété de dimension 2 et 3. 

“Une surface est un espace fermé dont les points sont entourés par des disques.

Une variété de dimension deux est une surface.”

 

“Une variété de dimension trois est un espace fermé dont les points sont entourés par des boules."


b) - Construction de variété

Une deuxième vidéo montre comment on peut construire des variétés. Celles de dimension 1 sont construites en recollant les extremités d'un segment,
celles de dimension en recollant les bords de polygones ou de disques, celle de dimension 3 en recollant les bords d'un polyhèdres ou de boule.

Nous montrons, comme précédemment, ces trois constructions dans des animations simultanées.
Elles sont disposées suivant leur dimension et leur géometrie : hyperbolique, plate ou sphérique.

film 2

 

c) - Vue d'un homme marchant dans un tore de dimension 3

Les constructions de variétés de dimension 3 ci-dessus n’étant pas réalisables dans notre espace physique, une vidéo va montrer un homme marchant dans un cube, et à chaque fois qu’il se rapprochera de l’une des faces, elle se collera avec celle qui est opposée, pour qu’il puisse la franchir.

2emepartie03zoom03.psd

film3

Ce sera aussi l’occasion de montrer ce qu’un homme voit dans cet espace : similairement à une salle dont les murs sont des miroirs, vers l’avant il se voit de dos, en arrière de face etc.

d) Courbes sur surfaces

Nous continuons à montrer la relation entre la géométrie d’une surface et sa vue immersive, avec une première installation.

 

paysage2d-ausol01.psd

Le public choisit d’abord une surface parmi trois présentées :

Un tore, une sphère, une surface hyperbolique.

Le public peut faire naviguer une caméra (virtuelle) sur la surface. La navigation se commande à l’aide d’un palet sur une table, dont la position donne la vitesse de la caméra.
La trajectoire de la caméra est matérialisée par une courbe sur la surface.
En même temps, on projette la vue immersive de la camera, ce qui lui apparaîtrait si la lumière restait le long de la surface.
Comme pour le tore de dimension 3, la même courbe apparaît à une multitude d’endroits.

e)Courbes dans l’espace

Enfin, nous montrons l’installation équivalente en dimension 3. Le spectateur doit choisir entre trois espaces paradigmatiques de dimension 3:

Une variété plate, sphérique et hyperbolique.

Une boule lumineuse est suspendue en face d’un écran.
Elle joue le rôle du palet, en fonction de sa position la caméra se déplace.
La trajectoire de la caméra est matérialisée par un trait de style craie.
Elle est projetée sur l’écran autant de fois qu’elle apparaît à la caméra immergée dans l’espace choisi.
Ce tracé disparaît dans le temps comme la traînée d’un avion.

fsf  

installationelastique03.psd

 

Pour ces deux dernières installations, nous souhaitons retranscrire

au travers du son, l’ambiance acoustique de ces espaces, de la même façon que l’on simule mathématiquement le son d’un tambour ou des échos.

Différentes citations de célèbres mathématiciens (Poincaré, Thurston, Milnor …) enrichiront l’exposition.

Elles apparaîtront imprimées.

“Une géométrie ne peut pas être plus vraie qu’une autre; elle peut seulement être plus commode...”

Poincaré, La Science et l’Hypothèse.

 

 

Vue immersive dans un orbifold hyperbolique produite en temps réel par nos installations

 

mapping02.jpg